qdmailで機種依存文字を送信する場合は、本文を UTF-8 , BASE64にエンコードにします。

※$mailは、qdmailのインスタンスです。

$mail->charsetBody( 'utf-8' , 'base64' ) ;

半角カナも送信したい場合は、$mail->kana(true);モードも加えます。

$mail->charsetBody( 'utf-8' , 'base64' ) ;
$mail->kana(true);

詳細は、qdmail本家サイトへどうぞ。
丁寧な解説を掲載してくださっています。
・半角カナの送信 – Qdmail – PHP::Mail Library , Quick and Detailed for Multibyte

qdmail作者さまに感謝します。